Conjunto
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Na matemática, um conjunto é uma coleção de elementos[1]. A relação básica entre um objeto e o conjunto é a relação de pertinência: quando um objeto x é um dos elementos que compõem o conjunto A, dizemos que x pertence a A [2].Nos conjuntos, a ordem e a quantidade de vezes que os elementos estão listados na coleção não é relevante. Em contraste, uma coleção de elementos na qual a multiplicidade, mas não a ordem, é relevante, é chamada multiconjunto. Dizemos que dois conjuntos são iguais se e somente se cada elemento de um é também elemento do outro.
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[editar] Importância
Um conjunto é considerado um dos conceitos mais básicos da matemática, sendo o elemento principal da teoria dos conjuntos.[editar] Notação matemática
É possível descrever o mesmo conjunto de três maneiras diferentes, por meio de uma:- lista os seus elementos (ideal para conjuntos pequenos e finitos);
- definição de uma propriedade de seus elementos (o que, se for feito de forma descuidada, pode gerar problemas, tais como o paradoxo de Russell);
- representação gráfica.
Também é possível representar graficamente os conjuntos. O Diagrama de Venn-Euler é a representação gráfica dos conjuntos, através de entidades geométricas.
[editar] Conceitos essenciais
- Conjunto: representa uma coleção de objetos, geralmente representado por letras maiúsculas;
- Elemento: qualquer um dos componentes de um conjunto, geralmente representado por letras minúsculas;
- Pertinência: é a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto. Se a é um elemento de A, podemos dizer que o elemento a pertence ao conjunto A e podemos escrever . Se a não é um elemento de A, nós podemos dizer que o elemento a não pertence ao conjunto A e podemos escrever .
[editar] Subconjuntos próprios e impróprios
[editar] Conjunto vazio
Podemos mostrar isto supondo que se o conjunto vazio não pertence ao conjunto em questão, então o conjunto vazio deve possuir um elemento ao menos que não pertença a este conjunto. Como o conjunto vazio não possui elementos, isto não é possível. Como todos os conjuntos vazios são iguais uns aos outros, é permissível falar de um único conjunto sem elementos.
[editar] Cardinalidade
Mesmo se o conjunto não possui um número finito de elementos, pode-se definir a cardinalidade, graças ao trabalho desenvolvido pelo matemático Georg Cantor. Neste caso, a cardinalidade poderá ser (aleph-0), .
Nos dois casos a cardinalidade de um conjunto A é denotada por | A | . Se para dois conjuntos A e B é possível fazer uma relação um-a-um entre seus elementos, então | A | = | B | .
[editar] Conjunto potência ou de partes
Sendo o conjunto dado A finito, com n elementos, prova-se que o número de subconjuntos ou o número de elementos do conjunto potência ou conjunto das partes de A é 2n, ou seja, a cardinalidade do conjunto das partes de A é igual a 2n. Como existe uma bijecção entre o conjunto das partes de A e o conjunto {0,1}A, é usual representar-se P(A) por .
O Teorema de Cantor estabelece que .
[editar] Produto cartesiano
- .
[editar] Operações com conjuntos
De maneira semelhante ao que ocorre com os números, também existem operações matemáticas com conjuntos. Nos exemplos são utilizados diagramas de Venn para ilustrar.Operação | Operador | Definição | Exemplo | |
---|---|---|---|---|
União | A união (ou reunião) de dois conjuntos e é o conjunto composto dos elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos ou . A união de N conjuntos . A união entre dois conjuntos pode ser definida formalmente por é o conjunto formado pelos os elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos | |||
Interseção | A interseção de dois conjuntos e é o conjunto composto dos elementos que pertencem simultaneamente aos dois conjuntos . e | |||
Diferença | ou − | A diferença ( ou − ) entre dois conjuntos e é o conjunto dos elementos que pertencem a e que não pertencem a . |
[editar] Conjuntos compostos por números
Nota: Nesta seção, a, b e c são números naturais, enquanto r, s, t e u são números reais.- Números naturais são usados para contar. O símbolo usualmente representa este conjunto. Na literatura matemática, é possível encontrar textos que incluem o zero como número natural e textos que não incluem.
- Números primos aparecem na fatoração de números inteiros. O símbolo usualmente representa este conjunto.
- Números inteiros aparecem como soluções de equações como x + a = b. O símbolo usualmente representa este conjunto (do termo alemão Zahlen que significa números).
- Números racionais aparecem como soluções de equações como a + bx = c. O símbolo usualmente representa este conjunto (da palavra quociente).
- Números irracionais são números reais que não são números racionais. O símbolo usualmente representa este conjunto.
- Números algébricos aparecem como soluções de equações polinomiais (com coeficientes inteiros) e envolvem raízes e alguns outros números irracionais. O símbolo ou usualmente representa este conjunto.
- Números transcendentais são números reais que não são números algébricos. O símbolo usualmente representa este conjunto.
- Números reais incluem os números algébricos e os números transcendentais. O símbolo usualmente representa este conjunto. (O estudo destes conjuntos é tão importante que recebe até nome específico: análise real.)
- Números imaginários aparecem como soluções de equações como x ² + r = 0 onde r > 0. O símbolo ou usualmente representa este conjunto.
- Números complexos é a soma dos números reais e dos imaginários: r + si. O símbolo usualmente representa este conjunto.
- Números quaterniões é a soma de números reais e de três números imaginários de unidades distintas: r + si + tj + uk. O símbolo usualmente representa este conjunto.
- Números octoniões é a soma de números reais e de sete números imaginários de unidades distintas. O símbolo usualmente representa este conjunto.
- Números complexos hiperbólicos é a soma de números reais com uma unidade que satisfaz e . Os números complexos hiperbólicos são da forma . Aqui tanto r quanto s podem ser iguais a zero. O símbolo usualmente representa este conjunto.
- Números p-ádicos são uma extensão dos números inteiros, onde p é um número primo. Os símbolos usualmente representam estes conjuntos. (não confundir com inteiros módulo p)
- Números ordinais aparecem em Teoria dos Conjuntos. Não existe o conjunto dos números ordinais.
- Números cardinais aparecem em Teoria dos Conjuntos. Um número cardinal é um número ordinal que não é equipotente a nenhum ordinal menor do que ele. Não existe o conjunto dos números cardinais.