Conjunto

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Na matemática, um conjunto é uma coleção de elementos^[1]. A relação básica entre um objeto e o conjunto é a relação de pertinência: quando um objeto x é um dos elementos que compõem o conjunto A, dizemos que x pertence a A ^[2].
Nos conjuntos, a ordem e a quantidade de vezes que os elementos estão listados na coleção não é relevante. Em contraste, uma coleção de elementos na qual a multiplicidade, mas não a ordem, é relevante, é chamada multiconjunto. Dizemos que dois conjuntos são iguais se e somente se cada elemento de um é também elemento do outro.

Índice

[esconder]

[editar] Importância

Um conjunto é considerado um dos conceitos mais básicos da matemática, sendo o elemento principal da teoria dos conjuntos.

[editar] Notação matemática

É possível descrever o mesmo conjunto de três maneiras diferentes, por meio de uma:

lista os seus elementos (ideal para conjuntos pequenos e finitos);
definição de uma propriedade de seus elementos (o que, se for feito de forma descuidada, pode gerar problemas, tais como o paradoxo de Russell);
representação gráfica.

A notação padrão em Matemática lista os elementos separados por vírgulas e delimitados por chaves (o uso de "parênteses" ou "colchetes" é incomum e, em determinados contextos, considerado incorreto). Um conjunto A, por exemplo, poderia ser representado como:

$A=\left\{1, 2, 3 \right\}\,\!$

Como a ordem não importa em conjuntos, isso é equivalente a escrever, por exemplo:

$A=\left\{1, 2, 2, 1, 3, 2\right\}\,\!$

Um conjunto ABCDEFGHIJ também fica definido (ou determinado, ou caracterizado) quando se dá uma regra que permita decidir se um objeto arbitrário pertence ou não a A. Por exemplo, a frase "B é o conjunto dos triângulos retângulos" define perfeitamente o conjunto B, já que permite decidir se um objeto qualquer é ou não elemento de B^[3]. O mesmo conjunto A do parágrafo anterior poderia ser representado por uma regra:

$A= \left\{ x\,|\,x \mbox{ é um número inteiro tal que } 0 < x < 4 \right\}$

ou ainda:

$A= \left\{ x\,:\,x \mbox{ é um número natural tal que } 1 \le x \le 3 \right\}$

Note que as propriedades ou descrições de um conjunto são representadas dentro das {}, após os elementos e separadas destes por : ou por |.
Também é possível representar graficamente os conjuntos. O Diagrama de Venn-Euler é a representação gráfica dos conjuntos, através de entidades geométricas.

[editar] Conceitos essenciais

Conjunto: representa uma coleção de objetos, geralmente representado por letras maiúsculas;
Elemento: qualquer um dos componentes de um conjunto, geralmente representado por letras minúsculas;
Pertinência: é a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto. Se $a$ é um elemento de $A$ , podemos dizer que o elemento $a$ pertence ao conjunto $A$ e podemos escrever $a \in A$ . Se $a$ não é um elemento de $A$ , nós podemos dizer que o elemento $a$ não pertence ao conjunto $A$ e podemos escrever $a \not\in A$ .

[editar] Subconjuntos próprios e impróprios

Ver artigo principal: Subconjunto

Se $A \,\!$ e $B \,\!$ são conjuntos e todo o elemento $x \,\!$ pertencente a $A \,\!$ também pertence a $B \,\!$ , então o conjunto $A \,\!$ é dito um subconjunto do conjunto $B \,\!$ , denotado por $A \subseteq B$ . Note que esta definição inclui o caso em que

A

B

possuem os mesmos elementos, isto é, são o mesmo conjunto (

A = B

). Se $A \subseteq B$ e ao menos um elemento pertencente a $B \,\!$ não pertence a $A \,\!$ , então $A \,\!$ é chamado de subconjunto próprio de $B \,\!$ , denotado por $A \subset B$ . Todo conjunto é subconjunto dele mesmo, entretanto não se enquadra na definição de subconjunto próprio, e é chamado de subconjunto impróprio.

$A \subseteq B$

[editar] Conjunto vazio

Ver artigo principal: Conjunto vazio

Todo conjunto também possui como subconjunto o conjunto vazio representado por { } ou $\emptyset$ .
Podemos mostrar isto supondo que se o conjunto vazio não pertence ao conjunto em questão, então o conjunto vazio deve possuir um elemento ao menos que não pertença a este conjunto. Como o conjunto vazio não possui elementos, isto não é possível. Como todos os conjuntos vazios são iguais uns aos outros, é permissível falar de um único conjunto sem elementos.

[editar] Cardinalidade

Ver artigo principal: Cardinalidade

Se um conjunto tem n elementos, onde n é um número natural (possivelmente 0), então diz-se que o conjunto é um conjunto finito com uma cardinalidade de n ou número cardinal n.
Mesmo se o conjunto não possui um número finito de elementos, pode-se definir a cardinalidade, graças ao trabalho desenvolvido pelo matemático Georg Cantor. Neste caso, a cardinalidade poderá ser $\aleph_0$ (aleph-0), $\aleph_1, \aleph_2 ...$ .
Nos dois casos a cardinalidade de um conjunto

A

é denotada por

| A |

. Se para dois conjuntos A e B é possível fazer uma relação um-a-um entre seus elementos, então

| A | = | B |

[editar] Conjunto potência ou de partes

Ver artigo principal: Conjunto de partes

O conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto dado

A

é chamado de conjunto potência (ou conjunto das partes) de

A

, denotado por $P(A)\,\!$ . O conjunto potência é uma álgebra booleana sobre as operações de união e interseção.
Sendo o conjunto dado A finito, com n elementos, prova-se que o número de subconjuntos ou o número de elementos do conjunto potência ou conjunto das partes de A é

2 n

, ou seja, a cardinalidade do conjunto das partes de A é igual a

2 n

. Como existe uma bijecção entre o conjunto das partes de A e o conjunto

{0,1} A

, é usual representar-se P(A) por $2^A\,\!$ .
O Teorema de Cantor estabelece que $|A| < |P(A)|\,\!$ .

[editar] Produto cartesiano

Ver artigo principal: Produto cartesiano

O produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto de pares ordenados:

$A \times B= \{(a,b) : a \in A \and b \in B\}$

A soma ou união disjunta de dois conjuntos A e B é o conjunto

$A + B = A \times \{0\} \cup B \times \{1\}$ .

[editar] Operações com conjuntos

De maneira semelhante ao que ocorre com os números, também existem operações matemáticas com conjuntos. Nos exemplos são utilizados diagramas de Venn para ilustrar.

Operação	Operador	Definição	Exemplo
União	$\cup$	A união (ou reunião) de dois conjuntos $A \,\!$ e $B \,\!$ é o conjunto $A \cup B$ composto dos elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos $A \,\!$ ou $B \,\!$ . A união de N conjuntos $S = S_1 \cup S_2 \cup S_3 \cdots \cup S_N = \cup_{i=1}^N S_i$ é o conjunto formado pelos os elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos $S_i \,\!$ . A união entre dois conjuntos pode ser definida formalmente por $A \cup B=\{\forall x\|x\in A \or x\in B\}$	$A \cup B$
Interseção	$\cap$	A interseção de dois conjuntos $A \,\!$ e $B \,\!$ é o conjunto $A \cap B$ composto dos elementos que pertencem simultaneamente aos dois conjuntos $A \,\!$ e $B \,\!$ .	$A \cap B$
Diferença	$\setminus$ ou $-$	A diferença $A \setminus B$ ( ou $A\,\!$ $-$ $B\,\!$ ) entre dois conjuntos $A \,\!$ e $B \,\!$ é o conjunto dos elementos que pertencem a $A \,\!$ e que não pertencem a $B \,\!$ .	$A \setminus B$

[editar] Conjuntos compostos por números

Nota: Nesta seção, a, b e c são números naturais, enquanto r, s, t e u são números reais.

Números naturais são usados para contar. O símbolo $\mathbb{N}$ usualmente representa este conjunto. Na literatura matemática, é possível encontrar textos que incluem o zero como número natural e textos que não incluem.
Números primos aparecem na fatoração de números inteiros. O símbolo $\mathbb{P}$ usualmente representa este conjunto.
Números inteiros aparecem como soluções de equações como x + a = b. O símbolo $\mathbb{Z}$ usualmente representa este conjunto (do termo alemão Zahlen que significa números).
Números racionais aparecem como soluções de equações como a + bx = c. O símbolo $\mathbb{Q}$ usualmente representa este conjunto (da palavra quociente).
Números irracionais são números reais que não são números racionais. O símbolo $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ usualmente representa este conjunto.
Números algébricos aparecem como soluções de equações polinomiais (com coeficientes inteiros) e envolvem raízes e alguns outros números irracionais. O símbolo $\mathbb{A}$ ou $\bar{\mathbb{Q}}$ usualmente representa este conjunto.
Números transcendentais são números reais que não são números algébricos. O símbolo $\mathbb{R}\setminus\mathbb{A}$ usualmente representa este conjunto.
Números reais incluem os números algébricos e os números transcendentais. O símbolo $\mathbb{R}$ usualmente representa este conjunto. (O estudo destes conjuntos é tão importante que recebe até nome específico: análise real.)
Números imaginários aparecem como soluções de equações como x ² + r = 0 onde r > 0. O símbolo $\mathbb{I}$ ou $i \mathbb{R}$ usualmente representa este conjunto.
Números complexos é a soma dos números reais e dos imaginários: $r + s i$ . O símbolo $\mathbb{C}$ usualmente representa este conjunto.
Números quaterniões é a soma de números reais e de três números imaginários de unidades distintas: $r + s i + t j + u k$ . O símbolo $\mathbb{H}$ usualmente representa este conjunto.
Números octoniões é a soma de números reais e de sete números imaginários de unidades distintas. O símbolo $\mathbb{O}$ usualmente representa este conjunto.
Números complexos hiperbólicos é a soma de números reais com uma unidade que satisfaz $\jmath^2 = 1$ e $\jmath \neq \pm 1$ . Os números complexos hiperbólicos são da forma $r + s\jmath$ . Aqui tanto r quanto s podem ser iguais a zero. O símbolo $\mathbb{R}^{1,1}$ usualmente representa este conjunto.
Números p-ádicos são uma extensão dos números inteiros, onde p é um número primo. Os símbolos $\mathbb{Z}_p$ usualmente representam estes conjuntos. (não confundir com inteiros módulo p)
Números ordinais aparecem em Teoria dos Conjuntos. Não existe o conjunto dos números ordinais.

Teoria dos conjuntos

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Um diagrama de Venn ilustrando a interseção de dois conjuntos.

Teoria dos conjuntos é o ramo da matemática que estuda conjuntos, que são coleções de objetos. Embora qualquer tipo de objeto possa ser reunido em um conjunto, a teoria dos conjuntos é aplicada na maioria das vezes a objetos que são relevantes para a matemática. A linguagem da teoria dos conjuntos pode ser usada nas definições de quase todos os objetos matemáticos.
O estudo moderno da teoria dos conjuntos foi iniciado por Georg Cantor e Richard Dedekind em 1870. Após a descoberta de paradoxos na teoria ingênua dos conjuntos, numerosos sistemas de axiomas foram propostos no início do século XX, dos quais os axiomas de Zermelo–Fraenkel, com o axioma da escolha, são os mais conhecidos.
Conceitos de teoria dos conjuntos são integrados em todo currículo de matemática nos Estados Unidos. Fatos elementares sobre conjuntos e associação de conjuntos são frequentemente ensinados na escola primária, junto com diagramas de Venn, diagramas de Euler, e as operações elementares, tais como união e interseção de conjunto. Conceitos ligeiramente mais avançados, tais como cardinalidade são uma parte padrão do currículo de matemática de graduação.
A teoria dos conjuntos é comumente empregada como um sistema precursor da matemática, particularmente na forma de teoria dos conjuntos de Zermelo–Fraenkel com o axioma da escolha. Além de seu papel fundamental, a teoria dos conjuntos é um ramo da matemática em si própria, com uma comunidade de pesquisa ativa. Pesquisas contemporâneas em teoria dos conjuntos incluem uma diversa coleção de temas, variando da estrutura do número real ao estudo da consistência de grandes cardinais.

[editar] História

Temas matemáticos geralmente surgem e evoluem através de interações entre muitos pesquisadores. Teoria dos conjuntos, no entanto, foi fundada por um único artigo em 1874 por Georg Cantor: "A respeito de uma propriedade característica de todos os números algébricos reais".^[1]^[2]
Desde o século V a.C., começando com o matemático grego Zenão de Eleia no ocidente e primitivos matemáticos indianos no oriente, os matemáticos têm se debatido com o conceito de infinito. Especialmente notável é o trabalho de Bernard Bolzano^[3] na primeira metade do século XIX. A compreensão moderna do conceito de infinito em matemática começou em 1867–71, com os trabalhos de Cantor em teoria dos números, teoria das funções e séries trigonométricas^[4]. Um encontro em 1872 entre Cantor e Richard Dedekind influenciou o pensamento de Cantor e culminou no artigo de Cantor 1874.
O trabalho de Cantor inicialmente dividiu os matemáticos de sua época. Enquanto Karl Weierstrass e Dedekind apoiavam Cantor, Leopold Kronecker, hoje visto como um dos fundadores do construtivismo matemático, era contra. A teoria dos conjuntos cantoriana, afinal, tornou-se amplamente difundida, devido à utilidade dos conceitos cantorianos, tais como correspondência um-para-um entre conjuntos, sua prova de que há mais números reais que inteiros, e a "infinidade de infinitos" ("paraíso de Cantor") que a operação conjunto das partes dá origem.
A onda de entusiasmo seguinte na teoria dos conjuntos chegou por volta de 1900, quando foi descoberto que a teoria dos conjuntos Cantoriana dava origem a várias contradições, chamadas antinomias ou paradoxos. Bertrand Russell e Ernst Zermelo encontraram o paradoxo mais simples e mais conhecido paradoxo, hoje chamado paradoxo de Russell que envolve "o conjunto de todos os conjuntos que não são membros de si mesmos". Isto leva a uma contradição, uma vez que ele deve ser e não ser um membro de si mesmo. Em 1899 Cantor se questionou: "qual é o número cardinal do conjunto de todos os conjuntos?" e obteve um paradoxo relacionado.
A força da teoria dos conjuntos foi tal que o debate sobre os paradoxos não a levou ao abandono. O trabalho de Zermelo em 1908 e Abraham Fraenkel em 1922 resultou na teoria axiomática dos conjuntos canônica ZFC, que imagina-se ser livre de paradoxos. O trabalho de analistas, como Henri Lebesgue, demonstrou a grande utilidade matemática da teoria dos conjuntos.

[editar] Conceitos básicos

Ver artigo principal: Conjunto

Teoria dos conjuntos começa com uma fundamental relação binária entre um objeto o e um conjunto A. Se o é um membro (ou elemento) de A, nós escrevemos o ∈ A. Uma vez que conjuntos são objetos, a relação de pertinência também pode relacionar conjuntos.
Uma relação binária derivada entre dois conjuntos é a relação subconjunto, também chamada 'está contido'. Se todos os membros do conjunto A também são membros do conjunto B, então A é um subconjunto de B, denotado por A ⊆ B. Por exemplo, {1,2} é um subconjunto de {1,2,3} , mas {1,4} não é. A partir desta definição, é óbvio que um conjunto é um subconjunto de si mesmo; nos casos em que se deseja evitar isso, o termo subconjunto próprio é definido para excluir esta possibilidade.
Assim como a aritmética caracteriza operações binárias sobre números, teoria dos conjuntos caracterza operações binárias sobre conjuntos. O (A):

União dos conjuntos A e B, denotada por A ∪ B, é o conjunto de todos os objetos que são membros de A, ou B, ou ambos. A união de {1, 2, 3} e {2, 3, 4} é o conjunto {1, 2, 3, 4}.
Interseção dos conjuntos A e B, denotada por A ∩ B, é o conjunto de todos os objetos que são membros de ambos A e B. A interseção de {1, 2, 3} e {2, 3, 4} é o conjunto {2, 3}.
Diferença de conjuntos de U e A, denotada por U \ A é o conjunto de todos os membros de U que não são membros de A. A diferença de conjuntos {1,2,3} \ {2,3,4} é {1}, enquanto a diferença de conjuntos {2,3,4} \ {1,2,3} é {4}. Quando A é um subconjunto de U, a diferença de conjuntos U \ A é também chamada de complemento de A em U. Neste caso, se a escolha de U é clara a partir do contexto, a notação A^c é algumas vezes usada no lugar de U \ A, particularmente se U é um conjunto universo como no estudo de diagramas de Venn.
Diferença simétrica dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os objetos que são membros de exatamente um de A e B (elementos que estão em um dos conjuntos, mas não em ambos). Por exemplo, para os conjuntos {1,2,3} e {2,3,4}, o conjunto diferença simétrica é {1,4}. É o conjunto diferença da união e da interseção,, (A ∪ B) \ (A ∩ B).
Produto cartesiano de A e B, denotada por A × B, é o conjunto cujos membros são todos os possíveis pares ordenados (a,b) onde a é um membro de A e b é um membro de B.
Conjunto das partes de um conjunto A é o conjunto cujos membros são todos os possíveis subconjuntos de A. Por exemplo, o conjunto das partes de {1, 2} é { {}, {1}, {2}, {1,2} }.

Alguns conjuntos básicos de importância central são o conjunto vazio (o único conjunto que não contém elementos), o conjunto de números naturais, e o conjunto de números reais.

[editar] Um pouco de ontologia

Ver artigo principal: Universo de von Neumann

Um segmento inicial da hierarquia de von Neumann.

Um conjunto é puro se todos os seus membros são conjuntos, todos os membros de seus membros são conjuntos, e assim por diante. Por exemplo, o conjunto {{}} contendo apenas o conjunto vazio é um conjunto não vazio puro. Na teoria dos conjuntos moderna, é comum restringir a atenção para o universo de von Neumann de conjuntos puros, e muitos sistemas da teoria axiomática dos conjuntos são projetados para axiomatizar apenas os conjuntos puros. Há muitas vantagens técnicas com esta restrição, e pequena generalidade é perdida, uma vez que, essencialmente, todos os conceitos matemáticos podem ser modelados por conjuntos puros. Conjuntos no universo de von Neumann são organizados em uma hierarquia cumulativa, com base em quão profundamente seus membros, os membros de membros, etc, são aninhados. A cada conjunto nesta hierarquia é atribuído (por recursão transfinita) um número ordinal a, conhecido como a sua 'classe'. A classe de um conjunto puro X é definida como sendo uma mais do que o [[menor limitante superior] das classes de todos os membros de X. Por exemplo, ao conjunto vazio é atribuida a classe 0, enquanto ao conjunto {{}} contendo somente o conjunto vazio é atribuída classe 1. Para cada a, o conjunto V_a é definido como consistindo de todos os conjuntos puros com classe menor que a. O universo de von Neumann como um todo é denotado por V.

[editar] Teoria axiomática dos conjuntos

Teoria elementar dos conjuntos pode ser estudada de maneira informal e intuitiva, e por isso pode ser ensinado nas escolas primárias usando, por exemplo, diagramas de Venn. A abordagem intuitiva pressupõe que um conjunto pode ser formado a partir da classe de todos os objetos que satisfaçam uma condição particular de definição. Esta hipótese dá origem a paradoxos, os mais simples e mais conhecidos dos quais são o paradoxo de Russell e o paradoxo de Burali-Forti. Teoria axiomática dos conjuntos foi originalmente concebida para livrar a teoria dos conjuntos de tais paradoxos.^[5]
Os sistemas mais amplamente estudados da teoria axiomática dos conjuntos implicam que todos os conjuntos formam uma hierarquia cumulativa. Tais sistemas vêm em dois sabores, aqueles cuja ontologia consiste de:

Conjuntos sozinhos. Estes incluem a mais comum teoria axiomática dos conjuntos, teoria dos conjuntos de Zermelo–Fraenkel (ZFC), que inclui o axioma da escolha. Fragmentos de ZFC incluem:
- Teoria dos conjuntos de Zermelo, que substitui o esquema de axiomas da substituição com o da separação;
- Teoria geral dos conjuntos, um pequeno fragmento da teoria dos conjuntos de Zermelo suficiente para os axiomas de Peano e conjuntos finitos;
- Teoria dos conjuntos de Kripke-Platek, wque omite os axiomas do infinitude, conjunto das partes, e escolha, e enfraquece os esquemas de axiomas da separação e substituição.
Conjuntos e classes próprias. Estes incluem a teoria dos conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel, que tem a mesma força que ZFC para teoremas sobre conjuntos sozinhos, e teoria dos conjuntos de Morse-Kelley, que é mais forte do que ZFC.

Os sistemas acima podem ser modificados para permitirem urelementos, objetos que podem ser membros de conjuntos, mas que não são eles próprios conjuntos e não tem nenhum membro.
Os sistemas de Novos Fundamentos NFU (permitindo urelementos) e NF (faltando eles) não são baseadas em uma hierarquia cumulativa. NF e NFU incluem um"conjunto de tudo", em relação a qual cada conjunto tem um complemento. Nestes sistemas urelementos importam, porque NF, mas não NFU, produz conjuntos para os quais o axioma da escolha não se verifica.
Sistemas da teoria dos conjuntos construtiva, scomo CST, CZF e IZF, firmam seus conjuntos de axiomas na lógica intuicionista em vez da lógica de primeira ordem. No entanto, outros sistemas admitem por padrão a lógica de primeira ordem , mas apresentam uma relação membro não-padrão. Estes incluem a teoria grosseira dos conjuntos e a teoria dos conjuntos difusa, na qual o valor de uma formula atômica incorporando a relação de filiação não é simplesmente Verdadeiro ou Falso. Os modelos de valores Booleanos de ZFC são um assunto relacionado.

[editar] Aplicações

Quase todos os conceitos matemáticos são agora definidos formalmente em termos de conjuntos e conceitos teóricos de conjuntos. Por exemplo, as estruturas matemáticas tão diversas como grafos, variedade, anéis, e espaços vetoriais são todos definidos como conjuntos contendo várias propriedades (axiomáticas). Equivalência e relações de ordem são onipresentes na matemática, e a teoria das relações é inteiramente baseada na teoria dos conjuntos.
A teoria dos conjuntos também é um sistema fundamental para muito da matemática. Desde a publicação do primeiro volume de Principia Mathematica, que tem sido afirmado que a maioria ou mesmo todos os teoremas matemáticos podem ser derivados usando um conjunto adequadamente projetado de axiomas para a teoria dos conjuntos, aumentado com muitas definições, usando lógica de primeira ordem ou segunda ordem. Por exemplo, as propriedades do números naturais e reais podem ser obtidas da teoria dos conjuntos, já que cada sistema de números pode ser identificado como um conjunto de classes de equivalência sob uma relação de equivalência adequada cujo campo é algum conjunto infinito.
Teoria dos conjuntos como base para a análise matemática, topologia, álgebra abstrata e matemática discreta é igualmente incontroversa; matemáticos aceitam que (a princípio) teoremas nestas áreas podem ser derivadas das definições pertinentes e dos axiomas da teoria dos conjuntos. Algumas derivações completas de teoremas de complexidade matemática foram formalmente verificados a partir da teoria dos conjuntos, no entanto, tais derivações formais são muitas vezes mais extensas que do que as provas matemáticas de linguagem natural comumente presentes. Um projeto de verificação, Metamath, inclui derivações de mais de 10.000 teoremas a partir dos axiomas de ZFC e usando lógica de primeira ordem.

[editar] Áreas de estudo

Teoria dos conjuntos é a principal área de pesquisa na matemática, com muitas subáreas inter-relacionados.

[editar] Teoria dos conjuntos combinatória

Ver artigo principal: Combinatória

Teoria dos conjuntos combinatória preocupa-se com extensões da combinatória finita para conjuntos infinitos. Isto inclui o estudo da aritmética de cardinais e o estudo de extensões do teorema de Ramsey tais como o teorema de Erdos–Rado.

[editar] Teoria dos conjuntos descritiva

Ver artigo principal: Teoria dos conjuntos descritiva

Teoria dos conjuntos descritiva é o estudo de subconjuntos da reta real e dos subconjuntos dos espaços poloneses. Ela começa com o estudo das [[pointclass]es na hierarquia de Borel e se estende ao estudo de hierarquias mais complexas, como a hierarquia projetiva e a hierarquia de Wadge. Muitas propriedades dos conjuntos de Borel podem ser estabelecidas em ZFC, , mas a prova de que essas propriedades se verificam para conjuntos mais complicados requer axiomas adicionais relacionados com determinismo e grandes cardinais.
O campo da teoria dos conjuntos descritiva efetiva está entre a teoria dos conjuntos e a teoria da recursão. Ele inclui o estudo de lightface pointclasses, e está intimamente relacionado com a teoria hiperaritmética. Em muitos casos, os resultados da teoria dos conjuntos descritiva clássica têm versões efetivas; em alguns casos, novos resultados são obtidos provando pela versão efetiva primeiro e depois estendendo-os ("relativizando-os") para torná-la mais amplamente aplicáveis.
Uma área recente de pesquisa diz respeito a relações de equivalência de Borel e relações de equivalência decidíveis mais complicadas. Isto tem importantes aplicações para o estudo de invariantes em muitos campos da matemática.

[editar] Teoria dos conjuntos difusa

Ver artigo principal: Teoria dos conjuntos difusa

Na teoria dos conjuntos como Cantor definiu e Zermelo e Fraenkel axiomatizaram, um objeto ou é um membro de um conjunto ou não. Em teoria dos conjuntos difusa esta condição foi relaxada por Lotfi A. Zadeh, então um objeto tem um grau de pertinência em um conjunto, como número entre 0 e 1. Por exemplo, o grau de pertinência de uma pessoa no conjunto de "pessoas altas" é mais flexível do que um simples sim ou não resposta e pode ser um número real, tal como 0,75.

[editar] Teoria do modelo interno

Ver artigo principal: Teoria do modelo interno

Um modelo interno da teoria dos conjuntos de Zermelo–Fraenkel (ZF) é uma classe transitiva que inclui todos os ordinais e satisfaz todos os axiomas de ZF. O exemplo canônico é o constructible universe L desenvolvido por Gödel. Uma das razões que torna o estudo de modelos internos interessante é que ele pode ser usado para provar resultados de consistência. Por exemplo, pode-se mostrar que, independentemente se um modelo V da ZF satisfaz a hipótese do contínuum ou o axioma da escolha, o modelo interno L construído dentro do modelo original irá satisfazer tanto a hipótese do continuum generalizada quanto o axioma da escolha. Assim, a suposição de que ZF é consistente (tem qualquer modelo que seja) implica que ZF juntamente com estes dois princípios é consistente.
O estudo de modelos de interior é comum no estudo do determinismo e grandes cardinais, especialmente quando se considera axiomas que contradizem o axioma da escolha. Mesmo que um modelo fixo da teoria dos conjuntos satisfaz o axioma da escolha, é possível que um modelo interno falhe em satisfazer o axioma da escolha. Por exemplo, a existência de cardinais suficientemente grandes implica que há um modelo interno satisfazendo o axioma do determinismo (e, portanto, não satisfazendo o axioma da escolha).^[6]

[editar] Grandes cardinais

Ver artigo principal: Propriedade de grande cardinal

Um grande cardinal é um número cardinal com uma propriedade extra. Muitas destas propriedades são estudadas, incluindo cardinais inacessíveis, cardinais mensuráveis, entre outras. These properties typically imply the cardinal number must be very large, with the existence of a cardinal with the specified property unprovable in Zermelo-Fraenkel set theory. Estas propriedades tipicamente implicam que o número cardinal deve ser muito grande, com a existência de um cardinal com a propriedade especificada improvável na teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel.

[editar] Determinismo

Ver artigo principal: Determinismo

Determinismo refere-se ao fato de que, sob os pressupostos adequados, certos dois jogadores são determinados desde o início no sentido de que um jogador deve ter uma estratégia vencedora. A existência dessas estratégias tem conseqüências importantes na teoria descritiva dos conjuntos, como a suposição de que uma classe mais ampla de jogos ser determinada muitas vezes implica que uma classe mais ampla de conjuntos possue uma propriedade topológica. O axiom do determinismo (AD) é um importante objeto de estudo, embora incompatível com o axioma da escolha, AD implica que todos os subconjuntos da reta real são bem comportados (em particular, mensuráveis e com a propriedade de conjunto perfeito). AD pode ser usado para provar que os graus de Wadge têm uma estrutura alinhada.

[editar] Forçamento

Ver artigo principal: Forçamento

Paul Cohen inventou o método de forçamento enquanto procura por um modelo de ZFC em que o axioma da escolha ou a hipótese do contínuum falhe. Forçando a adição de conjuntos adicionais a algum determinado modelo da teoria dos conjuntos de modo a criar um modelo maior, com propriedades determinadas (isto é "forçadas") pelo modelo original e pela construção. Por exemplo, a construção de Cohen uniu subconjuntos adicionais dos números naturais sem mudar qualquer dos números cardinais do modelo original. Forçamento é também um dos dois métodos para provar consistência relativa por métodos finitístico, sendo o outro os modelos de valores Booleanos.

[editar] Invariantes cardinais

Ver artigo principal: Invariante cardinal

Invariante cardinal é uma propriedade da reta real medida por um número cardinal. Por exemplo, uma invariante bem estudado é a menor cardinalidade de uma coleção de conjuntos magros de reais cuja união é toda a reta real. Estes são invariantes no sentido de que quaisquer dois modelos da teoria dos conjuntos isomorfos deve dar o mesmo cardinal para cada invariante. Muitos invariantes cardinais foram estudados, e as relações entre eles são muitas vezes complexas e relacionadas com os axiomas da teoria dos conjuntos.

[editar] Topologia

Ver artigos principais: Topologia (matemática) e Topologia

Topologia estuda questões de topologia geral que são de teoria dos conjuntos em sua natureza ou que requerem métodos avançados da teoria dos conjuntos para sua solução. Muitos desses teoremas são independentes de ZFC, exigindo axiomas mais fortes para a sua prova. Um famoso problema é o problema do espaço de Moore, uma questão na topologia geral que foi objecto de intensa pesquisa. A resposta para este problema acabou por ser provada ser independente de ZFC.

[editar] Objeções à teoria dos conjuntos como fundamento para a matemática

Desde o início da teoria dos conjuntos, alguns matemáticos se opuseram a ela como um fundamento para a matemática, argumentando, por exemplo, que é apenas um jogo que inclui elementos de fantasia. A objeção mais comum à teoria dos conjuntos, um manifesto de Kronecker nos primeiros anos da teoria dos conjuntos, começou a partir da visão construtivista de que a matemática é vagamente relacionada à computação. Se este ponto de vista for admitido, então o tratamento de conjuntos infinitos, tanto na teoria ingênua dos conjuntos quanto na teoria axiomática dos conjuntos, , introduz em matemática métodos e objetos que não são computáveis. Ludwig Wittgenstein questionou a forma como a teoria dos conjuntos de Zermelo–Fraenkel manipulava infinitos. As visões de Wittgenstein sobre os fundamentos da matemática foram mais tarde criticada por Georg Kreisel e Paul Bernays, e minuciosamente investigadas por Crispin Wright, entre outros.
Teóricos das categorias propuseram a teoria de topos como uma alternativa à tradicional teoria axiomática dos conjuntos. Teoria de topos pode interpretar várias alternativas para aquela teoria, tais como o construtivismo, a teoria dos conjuntos finitos, e a teoria dos conjuntos computáveis.^[^{carece de fontes?]}

[editar] Ver também

[editar] Referências

↑ G. Cantor, Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen, Crelles Journal f. Mathematik, 77 (1874) 258–262.
↑ Philip Johnson, 1972, A History of Set Theory, Prindle, Weber & Schmidt ISBN 0871501546
↑ Bernard Bolzano, Paradoxien des Unendlichen, 1920, Felix Meiner, Leipzip.
↑ Georg Cantor, 1932, Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts, Springer, Berlin.
↑ Em seu artigo de 1925, John von Neumann observou que "a teoria dos conjuntos na sua versão primeira, "ingênua", devida a Cantor, levou a contradições. Essas são as bem conhecidas antinomias do conjunto de todos os conjuntos que não contêm a si próprios (Russell), do conjunto de todos os números ordinais transfinitos (Burali-Forti), e o conjunto de todos os números reais finitamente definíveis (Richard)." Ele vai adiante até observar que duas "tendências" estavam tentando "reabilitar" a teoria dos conjuntos. Sobre o primeiro esforço, exemplificado por Bertrand Russell, Julius König, Hermann Weyl e L. E. J. Brouwer, von Neumann disse que "o efeito geral de suas atividadas. . . devastador". Com relação ao método axiomático empregado pelo segundo grupo composto de Zermelo, Abraham Fraenkel e Arthur Moritz Schoenflies, von Neumann demonstrou preocupação de que "vemos apenas que os modos conhecidos de inferência que levam a antinomias falham, mas quem sabe onde não há outras?" e ele assumiu a tarefa de, "no espírito do segundo grupo, produzir, por meio de um número finito de operações puramente formais . . . todos os conjuntos que desejamos ver formados" mas não permitir as antinomias. (Todas as citações de von Neumann 1925 reimpresso em van Heijenoort, Jean (1967, third printing 1976), "From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1979-1931", Harvard University Press, Cambridge MA, ISBN 0-674-32449-8 (pbk). Uma sinopse da história, escrita por van Heijenoort, pode ser encontrada nos comentários que precedem o artigo de von Neumann de 1925.
↑ Jech, Thomas (2003), Set Theory: Third Millennium Edition, Springer Monographs in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-44085-7 , p. 642.

[editar] Leituras adicionais

Keith Devlin, (2nd ed.) 1993. The Joy of Sets. Springer Verlag, ISBN 0-387-94094-4
Ferreirós, Jose, 2007 (1999). Labyrinth of Thought: A history of set theory and its role in modern mathematics. Basel, Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-8349-7
Johnson, Philip, 1972. A History of Set Theory. Prindle, Weber & Schmidt ISBN 0871501546
Kunen, Kenneth, Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. North-Holland, 1980. ISBN 0-444-85401-0.
Tiles, Mary, 2004 (1989). The Philosophy of Set Theory: An Historical Introduction to Cantor's Paradise. Dover Publications.

[editar] Ligações externas

O Wikilivros tem um livro chamado Set Theory

O Wikilivros tem um livro chamado Discrete mathematics/Set theory

Multiconjunto

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Matematicamente, um multiconjunto é a generalização de um conjunto, de tal forma que permite a repetição de elementos.
Por exemplo, M = {a, b, c, c, d, e, e} é um multiconjunto distinto de X = {a, b, c, d, e}, mas se M e X fossem conjuntos, teríamos M=X.

Índice

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[editar] Definição formal

Um multiconjunto é definido como um par

(A, m)

, onde

A

é um conjunto qualquer, e $m: A \rightarrow \mathbb{N}$ a função que associa a cada elemento de A um número natural, onde consideramos a definição de números naturais que não contêm o zero, ou seja $\mathbb{N} = \{1,2,3, ... \}$ .
A multiplicidade de um elemento a é definido como

m (a)

.
Representamos um multiconjunto com a mesma notação que usamos para conjuntos, mas citamos

m (i)

vezes um elemento i do multiconjunto.
Por exemplo, o multiconjunto M com o par (A, m), tal que

A = {a, b, c, d, e}

e m(a)=1, m(b)=1, m(c)=2, m(d)=1, m(e)=2, é representado por

M = {a, b, c, c, d, e, e}

. A ordem dos elementos, assim como nos conjuntos, não importa.
Como os multiconjuntos são uma generalização de conjuntos, um multiconjunto B é um conjunto quando

m (i) = 1

para todo $i \in B$ .

[editar] Exemplos

Multiconjuntos aparecem naturalmente em vários contextos:

Na fatoração: a forma natural de se expressar a fatoração de um número natural ou um polinômio é através de multiconjuntos. Por exemplo, os fatores primos de 12 são {2, 2, 3}, e os fatores primos de 18 são {2, 3, 3}.
A solução de uma equação polinomial é um multiconjunto, já que é importante indicar a multiplicidade de cada raiz.

[editar] Cardinalidade de um multiconjunto

A cardinalidade de um multiconjunto

M = (A, m)

é definida como:
$\sum_{i \in A} m(i)$ .

[editar] Seleção com repetição

Em análise combinatória, multiconjunto é uma seleção com repetição. Em uma seleção em combinatória, a ordem não é importante.
Para calcular o número de multiconjuntos com k elementos escolhendo entre n tipos de elementos.

$\left\langle \begin{matrix}n \\ k \end{matrix}\right\rangle =CR^{k}_{n} = C^{k}_{n+k-1} = {n + k -1 \choose k} =\frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}={n+k-1 \choose n-1}$

Exemplos

1-Quantos tipos de dominós existem com números de 0 a 7?
É só selecionar dois dos 8 números possíveis. Neste caso os espaços nos dominós são iguais.

$\left\langle \begin{matrix}8 \\ 2 \end{matrix}\right\rangle = {8 + 2 -1 \choose 2} =\frac{(8+2-1)!}{2!(8-1)!}=\frac{9!}{2!(7)!}=36$

2-De quantas formas podemos distribuir 18 bolas iguais em 4 caixas diferentes?
Podemos considerar a seqüência seguinte:

$\bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \mid \bullet \bullet \mid \bullet \bullet \bullet \mid \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet$

Que é o mesmo que achar o número de soluções para a equação:

X 4 + X 3 + X 2 + X 1 = 18

X i =

número de bolas da i-ésima caixa

Equivale a escolher 18 caixas entre 4, já que pode repetir. Então

$\left\langle \begin{matrix}4 \\ 18 \end{matrix}\right\rangle = {18+4-1 \choose 18} = \frac{(21)!}{18!(21-18))!}=\frac{(21)!}{3!(18)!}=1330$

Outra forma de resolver esse problema é observando a figura acima. Há 18 bolas e 3 barras verticais indicando quatro caixas, cada uma em uma posição. Podemos permutar os termos que no total são 18+4-1 (18 bolas e 3 barras) e descontar as repetições já que as bolas são iguais e as barras também. Fazendo permutação de elementos iguais.

Hiperconjunto

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Em ZFC sem o axioma da regularidade, a possibilidade de infundados conjuntos surgem. Estes conjuntos, se existem, são também chamados hiperconjuntos. Claramente, se A ∈ A, então A é um hiperconjunto.
Em 1988, Peter Aczel publicou um trabalho influente, Non-Well-Founded Sets (Conjuntos Não-Bem-Fundados). A teoria dos hiperconjuntos tem sido aplicada à ciência computacional (processamento algébrico e semântica limite), linguística (teoria da situação), e filosofia (trabalho sobre o paradoxo de Liar).

[editar] Tipos

Três distinctos anti-fundamentos axiomáticos são bem conhecidos:

AFA ("Axioma do Anti-Fundamento") — atribuído a M. Forti e F. Honsell, e também conhecido como axiona anti-fundação de Aczel;
FAFA ("AFA de Finsler") — atribuído a P. Finsler;
SAFA ("AFA de Scott") — atribuído a Dana Scott.

O primeiro destes, i.e. AFA, é baseado em gráficos de pontos acessíveis(apg) e afirma que dois conjuntos são iguais se e apenas se podem ser representados (figurados) pelo mesmo apg. Dentro deste dominio (framework), pode ser demonstrado que o chamado átomo de Quine, formalmente definido por Q={Q}, existe e é único.

Função

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Nota: Para outros significados, veja Função (desambiguação).

Função é um dos conceitos mais importantes da matemática. Existem várias definições, dependendo da forma como são escolhidos os axiomas. Uma relação entre dois conjuntos, onde há uma relação entre cada um de seus elementos. Também pode ser uma lei que para cada valor x é correspondido por um elemento y, também denotado por f(x). Existem inúmeros tipos de funções matemáticas, entre as principais temos: função sobrejetora; função injetora; função trigonométrica; função do primeiro grau; função modular; função do segundo grau; função exponencial; função logarítmica; função Green; função polinomial; dentre inúmeras outras. Cada função é definida por leis generalizadas e propriedades específicas.^[1]^[2].

Função

f (x) = x 2

Índice

[esconder]

[editar] Conceito

As funções são definidas abstractamente por certas relações. Por causa de sua generalização as funções aparecem em muitos contextos matemáticos e muitas áreas desta ciência baseiam-se no estudo de funções. Pode notar-se que as palavras: função; mapeamento; mapear; e transformar são geralmente usadas como termos equivalentes. Além disso funções podem ocasionalmente ser referidas como funções bem definidas ou função total. O conceito de uma função é uma generalização da noção comum de fórmula matemática. As funções descrevem relações matemáticas especiais entre dois elementos. Intuitivamente, uma função é uma maneira de associar a cada valor do argumento x um único valor da função f(x). Isto pode ser feito especificando através de: uma equação, um relacionamento gráfico; diagramas representando os dois conjuntos; uma regra de associação; uma tabela de correspondência. Cada par de elementos relacionados pela função determina um ponto nesta representação, a restrição de unicidade da imagem implica um único ponto da função em cada linha de chamada do valor independente x. ^[3]^[4].
A noção intuitiva de funções não se limita a computações usando apenas números. A noção matemática de funções é bem mais ampla. Assim, uma função liga um domínio (conjunto de valores de entrada) com um segundo conjunto o contradomínio ou codomínio (conjunto de valores de saída) de tal forma que a cada elemento do domínio está associado exatamente um elemento do contradomínio. O conjunto dos elementos do contradomínio que são relacionados pela f a algum x do domínio, é o conjunto imagem ou chamado simplesmente imagem.^[4]

[editar] Definição formal

Considere dois conjuntos: o conjunto X com elementos x e o conjunto Y com elementos y. Isto é:

$f:X\rightarrow Y$

diz-se que a função f de X em Y que relaciona cada elemento x em X, um único elemento y = f (x) em Y.^[3]
Outra maneira de dizer isto é afirmar que f é uma relação binária entre os dois conjuntos tal que:

f é unívoca: se y = f (x) e z = f (x), então y = z;
f é total: para todos x em X, existe um y em Y tal que y = f (x).

Se a segunda condição é atendida, mas a primeira não, temos uma função multivalorada, o termo função multívoca é, por vezes utilizado na mesma acepção.
Se a primeira condição é atendida, mas a segunda não, temos uma função parcial.
Considere as três funções seguintes:

	Esta não é uma função, pois o elemento 3 em X é associado com dois elementos (d e c) em Y (a correspondência é funcional). Apesar de não ser uma função, representa uma função multivalorada.
	Esta não é uma função, pois o elemento 1 em X não é associado com um elemento em Y. Apesar de não ser uma função, representa uma função parcial.
	Esta é uma função (no caso, uma função discreta). Ela pode ser definida explicitamente pela expressão: $f(x)=\left\{\begin{matrix} a, & \mbox{se }x=1 \\ c, & \mbox{se }x=2 \\ d, & \mbox{se }x=3. \end{matrix}\right.$

[editar] Elementos da função

Ver artigo principal: Conjunto imagem

Ver artigo principal: Domínio

Função x², definida para { -3,-2,-1,0 }. Observar o conjunto domínio (D), contradomínio (CD) e imagem (delineado pela linha tracejada).

Seja $f: {\color{Red}D} \rightarrow {\color{Blue}CD}$ uma função. Toda função consta de três partes:

A primeira é o conjunto ${\color{Red}D}$ , chamado de domínio da função, é o conjunto onde a função é definida ^[5], ou seja, ele contém todos os elementos x para os quais a função deve ser definida.
Outra parte integrante da função é o contradomínio (representado na figura por ${\color{Blue}CD}$ ), que é o conjunto que contém os elementos que podem ser relacionados a elementos do domínio. Em outras palavras, é o conjunto onde a função toma valores.^[5] Dentro do contradomínio, define-se o conjunto imagem como o conjunto de valores que efetivamente f(x) assume. O conjunto imagem é, pois, sempre um subconjunto do contradomínio.
A terceira parte de uma função é a regra que permite associar, de modo bem determinado, a cada elemento $x \in {\color{Red}D}$ , um único elemento $f(x) \in {\color{Blue}CD}$ , chamado o valor que a função assume em x (ou no ponto x).^[5]

A função, portanto, se caracteriza pelo domínio, o contradomínio, e pela lei de associação (regra). A função $f: \R \to \R, \ f(x) = x^2\,$ é diferente da função $g: \R \to \R^{+}, \ g(x) = x^2\,$ , pois o contradomínio é diferente.

[editar] Gráficos de função

Ver artigo principal: Gráfico

As funções são comumente representadas em gráficos. O gráfico de uma função f : D → I é o conjunto dos pares ordenados em D x I da forma ( x , f (x) ), ou seja:

$\left\{\left(x,f(x)\right) : x \in D \right\}\,$

ou equivalentemente:

$\left\{\left(x,y\right)\in D\times I : x \in D \mbox{ e } y=f(x) \right\}\,$

os termos deste par ordenado são chamados de abcissa e ordenada, respectivamente.
Uma função é determinada pelo seu gráfico e pela especificação do conjunto de chegada. Assim, se duas funções têm o mesmo gráfico, uma poderá ser sobrejectiva e a outra não. No entanto, a injectividade de uma função é completamente determinada pelo gráfico.

[editar] Classificação das funções

[editar] Quanto ao número de elementos na imagem

Os tipos de funções podem ser classificados de acordo com o seu comportamento com relação à regra uma única saída para cada entrada. Como não foi dito nada sobre as entradas, ou se as saídas tem que ser únicas temos que resolver estas ambiguidades. Ao fazer isto encontramos apenas três tipos de classes de funções, e classe é empregado aqui como classificação mesmo e não como classe de equivalência. ^[6]

Tipo de função	Característica da função	Conjunto imagem	Exemplo	Admite função inversa? É inversível?
Função injetora ou injetiva	Cada elemento da imagem está associado a apenas um elemento do domínio, isto é, quando $x$ ≠ $y$ no domínio e $f (x)$ ≠ $f (y)$ no contradomínio. A cardinalidade do contradomínio é sempre maior ou igual à do domínio.	O número de elementos no contradomínio pode ser igual ou maior que na imagem da função.	A função $f :$ $N$ $\rightarrow$ $N$ dada por $f (x) = 2 x$ , é injetiva porque, sempre que toma-se dois valores diferentes de $x$ : $a$ ≠ $b$ , obtém-se valores diferentes para $f (x)$ : $f (a)$ ≠ $f (b)$ .	Não sempre, mas sempre admite inversa à esquerda.
Função sobrejetora ou sobrejetiva	Todos os elementos do contradomínio estão associados a algum elemento do domínio.	O conjunto imagem é igual ao conjunto contradomínio	A função $f :$ $R$ $\rightarrow$ $R$ dada por $f (x) = 6 x$ , não é sobrejetiva, pois o número -1 é elemento do contradomínio $R$ e não é imagem de qualquer elemento do domínio.	Não sempre, mas sempre admite inversa à direita.
Função bijetora ou bijetiva	São ao mesmo tempo sobrejetoras e injetoras, isto é, todos os elementos do domínio estão associados a todos os elementos do contradomínio de forma um para um e exclusiva.	O conjunto imagem é igual ao conjunto contradomínio	A função $f :$ $N$ $\rightarrow$ $N$ dada por $f (x) = x$ , é bijetiva porque é sobrejetiva e injetiva ao mesmo tempo. Exemplo: função identidade	Sim, sempre; imagem igual ao contradomínio vira domínio e vice-versa.

[editar] Quanto ao tipo de regra

Uma função pode ser classificada de acordo com o tipo de regra que associa os elementos do domínio aos elementos do contradomínio.^[6] Se a regra que associa o domínio ao contradomínio é um polinômio, então a função é dita uma Função polinomial. Exemplos de funções polinomiais são a função linear e a função quadrática.^[6] Se a regra eleva o logaritmo neperiano pelos elementos do domínio, então a função é dita exponencial.^[6]

[editar] Quanto à convexidade

Ver artigo principal: função côncava

Ver artigo principal: função convexa

[editar] Funções implícitas e explicitas

O tipo de função mais comum é aquele onde o argumento e o valor da função são ambos numéricos, o relacionamento entre os dois é expresso por uma fórmula e o valor da função é obtido através da substituição direta dos argumentos. Considere o exemplo:

$f(x)=x^2 \,\!$

Que resulta em qualquer valor de x ao quadrado. Uma generalização direta é permitir que funções dependam não só de um único valor, mas de vários. Por exemplo:

$g(x,y)=xy \,\!$

recebe dois números x e y e resulta no produto deles, xy. De acordo com o modo como uma função é especificada, ela pode ser chamada de função explícita (exemplos acima) ou de função implícita, como em:

$xf(x)=1 \,\!$

que implicitamente especifica a função:

$f(x)= \frac{1}{x}$

[editar] Funções compostas

São as funções em que o conjunto imagem de uma função

f (x)

serve de domínio para uma outra função

g (x)

, que por sua vez gera um conjunto imagem A. A função composta é uma expressão que, dado um determinado número do domínio de

f (x)

, nos leva diretamente ao conjunto imagem A. Por exemplo, dadas as funções:

f (x) = 2 x + 3

g (x) = x - 1

uma função composta pode ser:

g (f (x)) = 2 x + 2

Existem várias maneiras de se criar funções compostas. Podemos fazer

f (g (x))

f (f (x))

, etc. Note que o conjunto imagem de uma função serve sempre de domínio para a outra.^[6]

[editar] História

Como um termo matemático, função foi introduzido por Gottfried Leibniz em 1694, para designar qualquer das várias variáveis geométricas associadas com uma dada curva; tais como a inclinação da curva ou um ponto específico da dita curva. Funções relacionadas às curvas são atualmente chamadas funções diferenciáveis e são ainda o tipo de funções mais encontrado por não-matemáticos. Para este tipo de funções, pode-se falar em limites e derivadas; ambos sendo medida da mudança nos valores de saída associados à variação dos valores de entrada, formando a base do cálculo infinitesimal.
A palavra função foi, posteriormente, usada por Euler em meados do século XVIII para descrever uma expressão envolvendo vários argumentos. Com o tempo foi-se ampliando a definição de funções. Os matemáticos foram capazes de estudar "estranhos" objetos matemáticos tais como funções que não são diferenciáveis em qualquer de seus pontos. Tais funções, inicialmente tidas como puramente imaginárias e chamadas genericamente de "monstros", foram já no final do século XX, identificadas como importantes para a construção de modelos físicos de fenômenos tais como o movimento Browniano.
Durante o Século XIX, os matemáticos começaram a formalizar todos os diferentes ramos da matemática. Weierstrass defendia que se construisse o cálculo infinitesimal sobre a Aritmética ao invés de sobre a Geometria, o que favorecia a definição de Euler em relação à de Leibniz. Mais para o final do século, os matemáticos começaram a tentar formalizar toda a Matemática usando Teoria dos conjuntos, e eles conseguiram obter definições de todos os objetos matemáticos em termos do conceito de conjunto. Foi Dirichlet quem criou a definição "formal" de função moderna. Na definição de Dirichlet, uma função é um caso especial de uma relação. Relação é um conjunto de pares ordenados, onde cada elemento do par pertence a um dos conjuntos relacionados. Nas relações não existem restrições quanto à lei de correspondência entre os elementos dos conjuntos, já para as funções é costume introduzir restrições. Na maioria dos casos de interesse prático, entretanto, as diferenças entre as definições moderna e de Euler são desprezáveis.

Referências

↑ STEWART, James. Cálculo Vol. I - 4ª edição. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002. Página 12.
↑ FRANK AYRES, Philip A. Schmidt. Matemática para Ensino Superior - 3ª edição. São Paulo: Editora Artmed, 2003. Página 16.
↑ ^a ^b STEWART, James. Cálculo Vol. I - 4ª edição. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002.
↑ ^a ^b FRANK AYRES, Philip A. Schmidt. Matemática para Ensino Superior - 3ª edição. São Paulo: Editora Artmed, 2003.
↑ ^a ^b ^c LIMA, Elon Lages. Curso de análise volume 1. 11ª edição, 2004. página 13
↑ ^a ^b ^c ^d ^e AUBYN, António St.; FIGUEREDO, Maria C.; LAURA, Luís de; RIBEIRO, Luisa; VIEGAS, Francisco. Funções.Lisboa, 2004.Dísponível

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